なぜ「書き出す」という言葉になっているのか、明確なソースなありませんが、私は物理的に例えるとすっきりしました。

①記憶デバイスの用語

海外では、CDやSDカード、HDDなどのデータが保存されているものからデータを参照することを「Read」といいます。また逆にＳＤカードやＨＤＤにデータを保存することを「Write」といいます。これを直訳すると「読む」「書く」です。

②プログラムにデータを取り込むことを「インポート」、出力することを「エクスポート」といいます。このインポートのことを「読み込む」と表現することがあります。その流れで、出力の「エクスポート」を「書き出す」としたのかもしれません。多分諸説あります。

③動画編集ソフトは用語が多いですね。

動画編集は複数のファイルや音楽や文字も使いますよね。それらを一つの動画として完成させたい場合「レンダリング（データ統合）」をしたうえでそれを「エンコード（圧縮）」することで、 1 つまたは複数のファイルが完成します。レンダリングしただけだと動画のファイルが大きくなりすぎてしまうので、エンコードでMP4などにしないといけませんし、エンコードだけだとただ形式を変換して再圧縮するだけです。

これをひらがなを交えて一言で表そうとしたときに「書き出し」となっているのかもしれません。ソフトによって採用されている言葉も若干違いますが、ユーザーが多かったり大手が使っているとそれが浸透して業界の言葉のようになるのではないかと思います。

https://vook.vc/terms/%E6%9B%B8%E3%81%8D%E5%87%BA%E3%81%97